Решение дробно рациональных. ОДЗ. Область Допустимых Значений. Решение дробно рациональных уравнений

Класс: 8

Цели урока:

Обучающая:

формирование понятия дробных рационального уравнения;
рассмотреть различные способы решения дробных рациональных уравнений;
рассмотреть алгоритм решения дробных рациональных уравнений, включающий условие равенства дроби нулю;
обучить решению дробных рациональных уравнений по алгоритму;
проверка уровня усвоения темы путем проведения тестовой работы.

Развивающая:

развитие умения правильно оперировать полученными знаниями, логически мыслить;
развитие интеллектуальных умений и мыслительных операций - анализ, синтез, сравнение и обобщение;
развитие инициативы, умения принимать решения, не останавливаться на достигнутом;
развитие критического мышления;
развитие навыков исследовательской работы.

Воспитывающая:

воспитание познавательного интереса к предмету;
воспитание самостоятельности при решении учебных задач;
воспитание воли и упорства для достижения конечных результатов.

Тип урока : урок – объяснение нового материала.

Ход урока

1. Организационный момент.

Здравствуйте, ребята! На доске написаны уравнения посмотрите на них внимательно. Все ли из этих уравнений вы сможете решить? Какие нет и почему?

Уравнения, в которых левая и правя часть, являются дробно-рациональными выражениями, называются дробные рациональные уравнения. Как вы думаете, что мы будем изучать сегодня на уроке? Сформулируйте тему урока. Итак, открываем тетради и записываем тему урока «Решение дробных рациональных уравнений».

2. Актуализация знаний. Фронтальный опрос, устная работа с классом.

А сейчас мы повторим основной теоретический материл, который понадобиться нам для изучения новой темы. Ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы:

Что такое уравнение? (Равенство с переменной или переменными .)
Как называется уравнение №1? (Линейное .) Способ решения линейных уравнений. (Все с неизвестным перенести в левую часть уравнения, все числа - в правую. Привести подобные слагаемые. Найти неизвестный множитель ).
Как называется уравнение №3? (Квадратное. ) Способы решения квадратных уравнений. (Выделение полного квадрата, по формулам, используя теорему Виета и ее следствия .)
Что такое пропорция? (Равенство двух отношений .) Основное свойство пропорции. (Если пропорция верна, то произведение ее крайних членов равно произведению средних членов .)
Какие свойства используются при решении уравнений? (1. Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному. 2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному .)
Когда дробь равна нулю? (Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю .)

3. Объяснение нового материала.

Решить в тетрадях и на доске уравнение №2.

Ответ : 10.

Какое дробно-рациональное уравнение можно попробовать решить, используя основное свойство пропорции? (№5).

(х-2)(х-4) = (х+2)(х+3)

х 2 -4х-2х+8 = х 2 +3х+2х+6

х 2 -6х-х 2 -5х = 6-8

Решить в тетрадях и на доске уравнение №4.

Ответ : 1,5.

Какое дробно-рациональное уравнение можно попробовать решить, умножая обе части уравнения на знаменатель? (№6).

х 2 -7х+12 = 0

D=1›0, х 1 =3, х 2 =4.

Ответ : 3;4.

Теперь попытайтесь решить уравнение №7 одним из способов.


(х 2 -2х-5)х(х-5)=х(х-5)(х+5)
(х 2 -2х-5)х(х-5)-х(х-5)(х+5)=0			х 2 -2х-5=х+5
х(х-5)(х 2 -2х-5-(х+5))=0			х 2 -2х-5-х-5=0
х(х-5)(х 2 -3х-10)=0
х=0 х-5=0 х 2 -3х-10=0
х 1 =0 х 2 =5 D=49
х 3 =5 х 4 =-2			х 3 =5 х 4 =-2
Ответ : 0;5;-2.			Ответ : 5;-2.

Объясните, почему так получилось? Почему в одном случае три корня, в другом – два? Какие же числа являются корнями данного дробно-рационального уравнения?

До сих пор учащиеся с понятием посторонний корень не встречались, им действительно очень трудно понять, почему так получилось. Если в классе никто не может дать четкого объяснения этой ситуации, тогда учитель задает наводящие вопросы.

Чем отличаются уравнения № 2 и 4 от уравнений № 5,6,7? (В уравнениях № 2 и 4 в знаменателе числа, № 5-7 – выражения с переменной .)
Что такое корень уравнения? (Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство .)
Как выяснить является ли число корнем уравнения? (Сделать проверку .)

При выполнении проверки некоторые ученики замечают, что приходится делить на нуль. Они делают вывод, что числа 0 и 5 не являются корнями данного уравнения. Возникает вопрос: существует ли способ решения дробных рациональных уравнений, позволяющий исключить данную ошибку? Да, это способ основан на условие равенства дроби нулю.

х 2 -3х-10=0 , D=49 , х 1 =5 , х 2 =-2.

Если х=5, то х(х-5)=0, значит 5- посторонний корень.

Если х=-2, то х(х-5)≠0.

Ответ : -2.

Давайте попробуем сформулировать алгоритм решения дробных рациональных уравнений данным способом. Дети сами формулируют алгоритм.

Алгоритм решения дробных рациональных уравнений:

Перенести все в левую часть.
Привести дроби к общему знаменателю.
Составить систему: дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
Решить уравнение.
Проверить неравенство, чтобы исключить посторонние корни.
Записать ответ.

Обсуждение: как оформить решение, если используется основное свойство пропорции и умножение обеих частей уравнения на общий знаменатель. (Дополнить решение: исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель).

4. Первичное осмысление нового материала.

Работа в парах. Учащиеся выбирают способ решения уравнения самостоятельно в зависимости от вида уравнения. Задания из учебника «Алгебра 8», Ю.Н. Макарычев,2007: № 600(б,в,и); № 601(а,д,ж). Учитель контролирует выполнение задания, отвечает на возникшие вопросы, оказывает помощь слабоуспевающим ученикам. Самопроверка: ответы записаны на доске.

б) 2 – посторонний корень. Ответ:3.

в) 2 – посторонний корень. Ответ: 1,5.

а) Ответ: -12,5.

ж) Ответ: 1;1,5.

5. Постановка домашнего задания.

Прочитать п.25 из учебника, разобрать примеры 1-3.
Выучить алгоритм решения дробных рациональных уравнений.
Решить в тетрадях № 600(а,г,д); №601(г,з).
Попробовать решить №696(а)(по желанию).

6. Выполнение контролирующего задания по изученной теме.

Работа выполняется на листочках.

Пример задания:

А) Какие из уравнений являются дробными рациональными?

Б) Дробь равна нулю, когда числитель ______________________ , а знаменатель _______________________ .

В) Является ли число -3 корнем уравнения №6?

Г) Решить уравнение №7.

Критерии оценивания задания:

«5» ставится, если ученик выполнил правильно более 90% задания.
«4» - 75%-89%
«3» - 50%-74%
«2» ставится учащемуся, выполнившему менее 50% задания.
Оценка 2 в журнал не ставится, 3 - по желанию.

7. Рефлексия.

На листочках с самостоятельной работой поставьте:

1 – если на уроке вам было интересно и понятно;
2 – интересно, но не понятно;
3 – не интересно, но понятно;
4 – не интересно, не понятно.

8. Подведение итогов урока.

Итак, сегодня на уроке мы с вами познакомились с дробными рациональными уравнениями, научились решать эти уравнения различными способами, проверили свои знания с помощью обучающей самостоятельной работы. Результаты самостоятельной работы вы узнаете на следующем уроке, дома у вас будет возможность закрепить полученные знания.

Какой метод решения дробных рациональных уравнений, по Вашему мнению, является более легким, доступным, рациональным? Не зависимо от метода решения дробных рациональных уравнений, о чем необходимо не забывать? В чем «коварство» дробных рациональных уравнений?

Всем спасибо, урок окончен.

Рациональные уравнения - это уравнения, содержащие в себе рациональные выражения.

Определение 1

Рациональными выражениями при этом являются выражения, которые возможно записать в виде обыкновенной дроби вида $\frac{m}{n}$, при этом $m$ и $n$ - целые числа и $n$ не может быть равно нулю. К рациональным выражениям относятся не только выражения, содержащие дроби вида $\frac{2}{3}$, но и выражения, содержащие только целые числа, так как любое целое число можно представить в виде неправильной дроби.

Теперь рассмотрим более подробно, что же такое рациональные уравнения.

Как мы уже упомянули выше, рациональные уравнения - это уравнения, содержащие в себе рациональные выражения и переменные.

Соответственно тому, на каком именно месте стоит переменная в рациональном уравнении, оно может быть либо дробным рациональным уравнением, либо целым рациональным уравнением.

Дробные уравнения могут содержать дробь с переменной только в какой-то одной части уравнения, тогда как целые уравнения не содержат дробных выражений с переменной.

Целые рациональные уравнения примеры: $5x+2= 12$; $3y=-7(-4y + 5)$; $7a-14=256$.

Дробно-рациональные уравнения примеры: $\frac{3x-2}{x+3}+\frac{1}{2}=\frac{5}{x}$; $\frac{7}{2y-3}=5$;

Стоит отметить, что дробно-рациональными уравнениями называются только уравнения, содержащие дробь в знаменателе, так как уравнения, содержащие дробные выражения без переменных, легко сводятся к линейным целым уравнениям.

Как решать рациональные уравнения?

В зависимости от того, имеете ли вы дело с целым рациональным уравнением или с дробным, применяются несколько разные алгоритмы для решения.

Алгоритм решения целых рациональных уравнений

В начале необходимо определить наименьший общий знаменатель для всего равенства.
Затем нужно определить множители, на которые нужно домножить каждый член равенства.
Следующий этап - приведение к общему знаменателю всего равенства.
Наконец, осуществление поиска корней полученного целого рационального равенства.

Пример 1

Решите уравнение: $\frac{5x+9}{2}=\frac{x}{4}$

Сначала найдём общий множитель - в данном случае это число $4$. Для того чтобы избавиться от знаменателя, домножим левую часть на $\frac{2}{2}$, получаем:

$10x+18=x$ - полученное уравнение является линейным, его корень $x=-2$.

Как решать дробно-рациональные уравнения?

В случае с дробными рациональными уравнениями порядок решения похож на алгоритм для решения целых рациональных, то есть сохраняются пункты 1-4, но после нахождения предполагаемых корней в случае использования неравносильных преобразований корни требуется проверить, подставив в уравнение.

Пример 2

Решите дробно-рациональное уравнение: $\frac{x-3}{x-5}+\frac{1}{x}=\frac{x+5}{x \cdot (x-5)}$

Для того чтобы привести дробь к общему знаменателю, здесь это $x \cdot (x-5)$, домножим каждую дробь на единицу, представленную в виде необходимого для приведения к общему знаменателю множителя:

$\frac{(x-3) \cdot x}{(x-5)\cdot x}+\frac{1 \cdot (x-5)}{x \cdot (x-5)}=\frac{x+5}{x \cdot (x-5)}$

Теперь, когда вся дробь имеет общий знаменатель, от него можно избавиться:

$(x-3) \cdot x+(x-5)=x+5$

$x^2 - 3x+x-5 = x+5$

Воспользуемся теоремой Виета для решения получившегося квадратного уравнения:

$\begin{cases} x_1 + x_2 = 3 \\ x_1 \cdot x_2 = -10 \\ \end{cases}$

$\begin{cases} x_1=5 \\ x_2=-2 \\ \end{cases}$

Так как преобразование, использовавшееся для упрощения уравнения, не является равносильным, полученные корни необходимо проверить в исходном уравнении, для этого подставим их:

$\frac{-2-3}{-2-5} +\frac{1}{-2}=\frac{-2+5}{(-2) \cdot (-2-5)}$

$\frac{5}{7}-\frac{1}{2}=\frac{3}{14}$

$\frac{3}{14}=\frac{3}{14}$ - следовательно, корень $x_2=-2$ - верный.

$\frac{5-3}{5-5} +\frac{1}{5}=\frac{5+5}{(-2) \cdot (5-5)}$

Здесь сразу видно, что в знаменателе образуется нуль, следовательно, корень $x_1=5$ - посторонний.

Необходимо помнить, что в случае, если уравнение, содержащее в левой или правой части выражение вида $\frac{m}{n}$ равно нулю, равен нулю может быть только числитель дроби. Это происходит из-за того, что, если где-то в знаменателе образуется нуль, проверяемый корень не является корнем уравнения, так как всё равенство теряет смысл в этом случае. Корни, приводящие знаменатель к нулю, называются посторонними.

В случае если дробно-рациональное уравнение имеет довольно сложную форму, для его дальнейшего упрощения и решения возможно использовать замену части уравнения на новую переменную, наверняка вы уже видели примеры таких дробно-рациональных уравнений:

Пример 3

Решите уравнение:

$\frac{1}{x^2+3x-3}+\frac{2}{x^2+3x+1}=\frac{7}{5}$

Для упрощения решения введём переменную $t= x^2+3x$:

$\frac{1}{t-3}+\frac{2}{t+1}=\frac{7}{5}$

Общий знаменатель здесь $5 \cdot (t-3)(t+1)$, домножим на необходимые множители все части уравнения чтобы избавиться от него:

$\frac{5(t+1)}{5(t-3)(t+1)}+\frac{2 \cdot 5(t-3)}{5(t+1)(t-3)}=\frac{7(t+1)(t-3)}{5(t-3)(t+1)}$

$5(t+1)+10(t-3)=7(t+1)(t-3)$

$5t+5+10t-30=7(t^2-3t+t-3)$

$15t-25=7t^2-14t-21$

Через дискриминант вычислим корни:

$t_1=4;t_2=\frac{1}{7}$

Так как мы использовали неравносильные преобразования, необходимо проверить полученные корни в знаменателе, они должны удовлетворять условию $5(t-3)(t+1)≠0$. Оба корня соответствуют этому условию.

Теперь подставим полученные корни вместо $t$ и получим два уравнения:

$x^2+3x=4$ и $x^2+3x=\frac{1}{7}$.

По теореме Виета корни первого уравнения $x_1=-4; x_2=1$, корни второго же вычислим через дискриминант и имеем $x_{1,2}=\frac{-3±\sqrt{\frac{67}{7}}}{2}$.

Все корни уравнения составят: $x_1=-4; x_2=1, x_{3,4}=\frac{-3±\sqrt{\frac{67}{7}}}{2}$.

Преобразования для упрощения формы уравнения

Как вы уже могли увидеть выше, для решения рациональных уравнений используют различные преобразования.

Различают преобразования уравнений двух видов: равносильные (тождественные) и неравносильные.

Преобразования называются равносильными, если они приводят к уравнению нового вида, корни которого такие же, как у первоначального.

Тождественные преобразования, которые можно использовать для изменения вида первоначального уравнения без каких-либо проверок в дальнейшем, следующие:

Умножение или деление всего уравнения на какое-либо число, отличное от нуля;
Перенос частей уравнения из левой части в правую и наоборот.

Неравносильными преобразованиями называются преобразования, в ходе которых могут появиться посторонние корни. К неравносильным преобразованиям относят:

Возведение обеих частей уравнения в квадрат;
Избавление от знаменателей, содержащих переменную;

Корни рациональных уравнений, решённых с помощью неравносильных преобразований, необходимо проверять подстановкой в исходное уравнение, так как при неравносильных преобразованиях могут появиться посторонние корни. Не всегда неравносильные преобразования приводят к появлению посторонних корней, но всё же необходимо это учитывать.

Решение рациональных уравнений со степенями больше двух

Наиболее часто используемыми методами для решения уравнений со степенями больше двух являются метод замены переменной, рассмотренный нами выше на примере дробно-рационального уравнения, а также метод разложения на множители.

Рассмотрим более подробно метод разложения на множители.

Пусть дано уравнение вида $P(x)= 0$, при этом $P(x)$ - многочлен, степень которого больше двух. Если данное уравнение возможно разложить на множители так, что оно принимает вид $P_1(x)P_2(x)P_3(x)..\cdot P_n(x)=0$, то решением данного уравнения будет множество решений уравнений $P_1(x)=0, P_2(x)=0, P_3(x)=0...P_n(x)=0$.

Для тех, кто не помнит: свободный член уравнения - это член уравнений, не содержащий при себе в качестве множителя переменную. При этом найдя один из корней такого уравнения, его можно использовать для дальнейшего разложения уравнения на множители.

Пример 5

Решите уравнение:

Делителями свободного члена будут числа $±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12$ и $±24$. При их проверке подходящим корнем оказался $x=2$. Это значит, что данный многочлен можно разложить с использованием этого корня: $(x-2)(x^2+6+12)=0$.

Многочлен во второй паре скобок корней не имеет корней, значит, единственным корнем данного уравнения будет $x=2$.

Другим типом уравнений со степенью больше двух являются биквадратные уравнения вида $ax^4+bx^2+ c=0$. Такие уравнения решаются путём замены $x^2$ на $y$, применив её, получаем уравнение вида $ay^2+y+c=0$, а после этого полученное значение новой переменной используют для вычисления исходной переменной.

Также существует ещё один тип уравнений, называемый возвратным . Такие уравнения выглядят так: $ax^4+bx^3+cx^2+bx+a=0$. Такое название они имеют из-за повторения коэффициентов при старших степенях и младших.

Презентация и урок на тему: "Рациональные уравнения. Алгоритм и примеры решения рациональных уравнений"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 8 класса
Пособие к учебнику Макарычева Ю.Н. Пособие к учебнику Мордковича А.Г.

Знакомство с иррациональными уравнениями

Ребята, мы научились решать квадратные уравнения. Но математика только ими не ограничивается. Сегодня мы научимся решать рациональные уравнения. Понятие рациональных уравнений во многом схоже с понятием рациональных чисел. Только помимо чисел теперь у нас введена некоторая переменная $х$. И таким образом мы получаем выражение, в котором присутствуют операции сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую степень.

Пусть $r(x)$ – это рациональное выражение . Такое выражение может представлять из себя простой многочлен от переменной $х$ или отношение многочленов (вводится операция деления, как для рациональных чисел).
Уравнение $r(x)=0$ называется рациональным уравнением .
Любое уравнение вида $p(x)=q(x)$, где $p(x)$ и $q(x)$ – рациональные выражения, также будет являться рациональным уравнением .

Рассмотрим примеры решения рациональных уравнений.

Пример 1.
Решить уравнение: $\frac{5x-3}{x-3}=\frac{2x-3}{x}$.

Решение.
Перенесем все выражения в левую часть: $\frac{5x-3}{x-3}-\frac{2x-3}{x}=0$.
Если бы в левой части уравнения были представлены обычные числа, то мы бы привели две дроби к общему знаменателю.
Давайте так и поступим: $\frac{(5x-3)*x}{(x-3)*x}-\frac{(2x-3)*(x-3)}{(x-3)*x}=\frac{5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9)}{(x-3)*x}=\frac{3x^2+6x-9}{(x-3)*x}=\frac{3(x^2+2x-3)}{(x-3)*x}$.
Получили уравнение: $\frac{3(x^2+2x-3)}{(x-3)*x}=0$.

Дробь равна нулю, тогда и только тогда, когда числитель дроби равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Тогда отдельно приравняем числитель к нулю и найдем корни числителя.
$3(x^2+2x-3)=0$ или $x^2+2x-3=0$.
$x_{1,2}=\frac{-2±\sqrt{4-4*(-3)}}{2}=\frac{-2±4}{2}=1;-3$.
Теперь проверим знаменатель дроби: $(x-3)*x≠0$.
Произведение двух чисел равно нулю, когда хотя бы одно из этих чисел равно нулю. Тогда: $x≠0$ или $x-3≠0$.
$x≠0$ или $x≠3$.
Корни, полученные в числителе и знаменателе, не совпадают. Значит в ответ записываем оба корня числителя.
Ответ: $х=1$ или $х=-3$.

Если вдруг, один из корней числителя совпал с корнем знаменателя, то его следует исключить. Такие корни называются посторонними!

Алгоритм решения рациональных уравнений:

1. Все выражения, содержащиеся в уравнении, перенести в левую сторону от знака равно.
2. Преобразовать эту часть уравнения к алгебраической дроби: $\frac{p(x)}{q(x)}=0$.
3. Приравнять полученный числитель к нулю, то есть решить уравнение $p(x)=0$.
4. Приравнять знаменатель к нулю и решить полученное уравнение. Если корни знаменателя совпали с корнями числителя, то их следует исключить из ответа.

Пример 2.
Решите уравнение: $\frac{3x}{x-1}+\frac{4}{x+1}=\frac{6}{x^2-1}$.

Решение.
Решим согласно пунктам алгоритма.
1. $\frac{3x}{x-1}+\frac{4}{x+1}-\frac{6}{x^2-1}=0$.
2. $\frac{3x}{x-1}+\frac{4}{x+1}-\frac{6}{x^2-1}=\frac{3x}{x-1}+\frac{4}{x+1}-\frac{6}{(x-1)(x+1)}= \frac{3x(x+1)+4(x-1)-6}{(x-1)(x+1)}=$ $=\frac{3x^2+3x+4x-4-6}{(x-1)(x+1)}=\frac{3x^2+7x-10}{(x-1)(x+1)}$.
$\frac{3x^2+7x-10}{(x-1)(x+1)}=0$.
3. Приравняем числитель к нулю: $3x^2+7x-10=0$.
$x_{1,2}=\frac{-7±\sqrt{49-4*3*(-10)}}{6}=\frac{-7±13}{6}=-3\frac{1}{3};1$.
4. Приравняем знаменатель к нулю:
$(x-1)(x+1)=0$.
$x=1$ и $x=-1$.
Один из корней $х=1$ совпал с корнем из числителя, тогда мы его в ответ не записываем.
Ответ: $х=-1$.

Решать рациональные уравнения удобно с помощью метода замены переменных. Давайте это продемонстрируем.

Пример 3.
Решить уравнение: $x^4+12x^2-64=0$.

Решение.
Введем замену: $t=x^2$.
Тогда наше уравнение примет вид:
$t^2+12t-64=0$ - обычное квадратное уравнение.
$t_{1,2}=\frac{-12±\sqrt{12^2-4*(-64)}}{2}=\frac{-12±20}{2}=-16; 4$.
Введем обратную замену: $x^2=4$ или $x^2=-16$.
Корнями первого уравнения является пара чисел $х=±2$. Второе - не имеет корней.
Ответ: $х=±2$.

Пример 4.
Решить уравнение: $x^2+x+1=\frac{15}{x^2+x+3}$.
Решение.
Введем новую переменную: $t=x^2+x+1$.
Тогда уравнение примет вид: $t=\frac{15}{t+2}$.
Дальше будем действовать по алгоритму.
1. $t-\frac{15}{t+2}=0$.
2. $\frac{t^2+2t-15}{t+2}=0$.
3. $t^2+2t-15=0$.
$t_{1,2}=\frac{-2±\sqrt{4-4*(-15)}}{2}=\frac{-2±\sqrt{64}}{2}=\frac{-2±8}{2}=-5; 3$.
4. $t≠-2$ - корни не совпадают.
Введем обратную замену.
$x^2+x+1=-5$.
$x^2+x+1=3$.
Решим каждое уравнение по отдельности:
$x^2+x+6=0$.
$x_{1,2}=\frac{-1±\sqrt{1-4*(-6)}}{2}=\frac{-1±\sqrt{-23}}{2}$ - нет корней.
И второе уравнение: $x^2+x-2=0$.
Корнями данного уравнения будут числа $х=-2$ и $х=1$.
Ответ: $х=-2$ и $х=1$.

Пример 5.
Решить уравнение: $x^2+\frac{1}{x^2} +x+\frac{1}{x}=4$.

Решение.
Введем замену: $t=x+\frac{1}{x}$.
Тогда:
$t^2=x^2+2+\frac{1}{x^2}$ или $x^2+\frac{1}{x^2}=t^2-2$.
Получили уравнение: $t^2-2+t=4$.
$t^2+t-6=0$.
Корнями данного уравнения является пара:
$t=-3$ и $t=2$.
Введем обратную замену:
$x+\frac{1}{x}=-3$.
$x+\frac{1}{x}=2$.
Решим по отдельности.
$x+\frac{1}{x}+3=0$.
$\frac{x^2+3x+1}{x}=0$.
$x_{1,2}=\frac{-3±\sqrt{9-4}}{2}=\frac{-3±\sqrt{5}}{2}$.
Решим второе уравнение:
$x+\frac{1}{x}-2=0$.
$\frac{x^2-2x+1}{x}=0$.
$\frac{(x-1)^2}{x}=0$.
Корнем этого уравнения является число $х=1$.
Ответ: $x=\frac{-3±\sqrt{5}}{2}$, $x=1$.

Задачи для самостоятельного решения

Решить уравнения:

1. $\frac{3x+2}{x}=\frac{2x+3}{x+2}$.

2. $\frac{5x}{x+2}-\frac{20}{x^2+2x}=\frac{4}{x}$.
3. $x^4-7x^2-18=0$.
4. $2x^2+x+2=\frac{8}{2x^2+x+4}$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.

Мы уже научились решать квадратные уравнения. Теперь распространим изученные методы на рациональные уравнения.

Что такое рациональное выражение? Мы уже сталкивались с этим понятием. Рациональными выражениями называются выражения, составленные из чисел, переменных, их степеней и знаков математических действий.

Соответственно, рациональными уравнениями называются уравнения вида: , где - рациональные выражения.

Раньше мы рассматривали только те рациональные уравнения, которые сводятся к линейным. Теперь рассмотрим и те рациональные уравнения, которые сводятся и к квадратным.

Пример 1

Решить уравнение: .

Решение:

Дробь равна 0 тогда и только тогда, когда ее числитель равен 0, а знаменатель не равен 0.

Получаем следующую систему:

Первое уравнение системы - это квадратное уравнение. Прежде чем его решать, поделим все его коэффициенты на 3. Получим:

Получаем два корня: ; .

Поскольку 2 никогда не равно 0, то необходимо, чтобы выполнялись два условия: . Поскольку ни один из полученных выше корней уравнения не совпадает с недопустимыми значениями переменной, которые получились при решении второго неравенства, они оба являются решениями данного уравнения.

Ответ: .

Итак, давайте сформулируем алгоритм решения рациональных уравнений:

1. Перенести все слагаемые в левую часть, чтобы в правой части получился 0.

2. Преобразовать и упростить левую часть, привести все дроби к общему знаменателю.

3. Полученную дробь приравнять к 0, по следующему алгоритму: .

4. Записать те корни, которые получились в первом уравнении и удовлетворяют второму неравенству, в ответ.

Давайте рассмотрим еще один пример.

Пример 2

Решить уравнение: .

Решение

В самом начале перенесем все слагаемые в левую сторону, чтобы справа остался 0. Получаем:

Теперь приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

Данное уравнение эквивалентно системе:

Первое уравнение системы - это квадратное уравнение.

Коэффициенты данного уравнения: . Вычисляем дискриминант:

Получаем два корня: ; .

Теперь решим второе неравенство: произведение множителей не равно 0 тогда и только тогда, когда ни один из множителей не равен 0.

Необходимо, чтобы выполнялись два условия: . Получаем, что из двух корней первого уравнения подходит только один - 3.

Ответ: .

На этом уроке мы вспомнили, что такое рациональное выражение, а также научились решать рациональные уравнения, которые сводятся к квадратным уравнениям.

На следующем уроке мы рассмотрим рациональные уравнения как модели реальных ситуаций, а также рассмотрим задачи на движение.

Список литературы

Башмаков М.И. Алгебра, 8 класс. - М.: Просвещение, 2004.
Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра, 8. 5-е изд. - М.: Просвещение, 2010.
Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра, 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. - М.: Просвещение, 2006.

Фестиваль педагогических идей "Открытый урок" ().
School.xvatit.com ().
Rudocs.exdat.com ().

Домашнее задание

Как уже известно (см. § 2 предыдущей главы), уравнение вида

где рациональные функции, по крайней мере одна из которых дробно-рациональная, называется дробно-рациональным уравнением с одним неизвестным.

Для решения уравнения (1) перенесем в левую часть, выполним необходимые тождественные преобразования и запишем заданное уравнение в виде

где и многочлены от

Уравнение (2) является следствием уравнения (1). Действительно, если есть решение уравнения (1), то Выполним над этим равенством все те преобразования, которые мы выполняли над уравнением Получим равенство а это и означает, что с есть решение уравнения (2).

Однако уравнение (2) не обязательно равносильно уравнению (1). При преобразовании уравнения (1) множество допустимых значений неизвестного может измениться, причем оно не может сузиться, но может расшириться,

и тогда уравнение (2) будет иметь решения, посторонние для уравнения (1). Это случится тогда, когда в процессе преобразования уравнения (1) некоторые дробные выражения взаимно уничтожаются или производится сокращение алгебраических дробей на множители, в которые входит неизвестное

Например, выполняя в уравнении

указанные преобразования, получим

Уравнение (4) не равносильно уравнению (3). Действительно, оно имеет корни Второй из них является посторонним для уравнения (3), ибо при выражение не имеет смысла. Произошло это потому, что при преобразовании уравнения (3) взаимно уничтожились слагаемые

Преобразуя другое уравнение

Сократив дробь на будем иметь

Уравнение (6) имеет корень который не удовлетворяет уравнению (5), потому что левая часть его теряет смысл при Следовательно, уравнение (6) не равносильно уравнению (5). Произошло это потому, что в процессе преобразования заданного уравнения мы сокращали алгебраическую дробь на

Таким образом, уравнение (2) является следствием уравнения (1), но не обязательно равносильно ему; отсюда вытекает, что решения уравнения (1) следует искать среди решений уравнения (2). Решениями же уравнения (2) могут быть лишь те значения при которых равняется нулю, т. е. лишь решения уравнения значит, решения уравнения (1) надо искать среди решений уравнения

Следовательно, для решения уравнения (1) достаточно определить все корни уравнения и затем путем непосредственной подстановки их в уравнение (1) выяснить, какие из них являются корнями заданного уравнения (1).

Изложенные нами рассуждения можно коротко сформулировать в виде следующего правила для решения дробно-рациональных уравнений.

Для решения дробно-рациональных уравнений

с одним неизвестным нужно:

1) перенести все члены его в левую часть;

2) выполнить необходимые тождественные преобразования и записать заданное уравнение в виде

где и многочлены от

3) решить уравнение

4) путем подстановки решений уравнения в первоначальное уравнение определить, какие из них удовлетворяют заданному уравнению.

Пример. Решить уравнение

Перенеся все члены в левую часть и приведя их к общему знаменателю, получим:

Приравняв числитель левой части нулю, будем иметь уравнение

Первое из этих решений является посторонним для заданного уравнения, а второе удовлетворяет ему.

Заметим, что в школьной практике часто при решении дробно-рациональных уравнений обе части заданного уравнения умножают на общий знаменатель всех алгебраических дробей, входящих в левую и правую части уравнения, а затем решают полученное таким образом уравнение. Очевидно, что полученное алгебраическое уравнение является следствием заданного уравнения, но не равносильно ему.

Поэтому, найдя решения этого алгебраического уравнения, надо подстановкой их в заданное уравнение определить, какие из них будут решениями заданного уравнения.