Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени, в. Что такое логарифм Основное логарифмическое тождество

«Формулы сокращенного умножения» - При умножении двух многочленов каждый член первого многочлена умножается на каждый член второго многочлена и произведения складываются. Формулы сокращенного умножения. При сложении и вычитании многочленов используются правила раскрытия скобок. Одночленами называются произведения чисел, переменных и их натуральных степеней.

«Решение системы уравнений» - Графический способ (алгоритм). Уравнение – это равенство, содержащее одну или несколько переменных. Уравнение и его свойства. Метод определителей (алгоритм). Система уравнений и её решение. Решение системы способом сравнения. Линейное уравнение с двумя переменными. Решение системы способом сложения.

«Решение систем неравенств» - Интервалы. Математический диктант. Рассмотрены примеры решения систем линейных неравенств. Решение систем неравенств. Чтобы решить систему линейных неравенств, достаточно решить каждое из входящих в неё неравенство и найти пересечение множеств их решений. Записать неравенства, множеством решения которых служат промежутки.

«Показательные неравенства» - Знак неравенства. Решите неравенство. Решение простейших показательных неравенств. Решение показательных неравенств. Что нужно учесть при решении показательных неравенств? Решение простейших показательных неравенств. Неравенство, содержащее неизвестную в показателе степени, называется показательным неравенством.

«Отношения чисел» - Что такое пропорция? Как называются числа m и n в пропорции а: m =n: в? Частное двух чисел называют отношением двух чисел. Маркетинговый лан. В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов и наоборот. Что такое отношение? Пропорции. Отношение можно выражать в процентах.

«Дискриминант квадратного уравнения» - Теорема Виета. Квадратные уравнения. Дискриминант. Какие уравнения называются неполными квадратными уравнениями? Сколько корней имеет уравнение, если его дискриминант равен нулю? Решение неполных квадратных уравнений. Сколько корней имеет уравнение, если его дискриминант является отрицательным числом?

Всего в теме 14 презентаций

Приведены основные свойства логарифма, график логарифма, область определения, множество значений, основные формулы, возрастание и убывание. Рассмотрено нахождение производной логарифма. А также интеграл, разложение в степенной ряд и представление посредством комплексных чисел.

Содержание

Область определения, множество значений, возрастание, убывание

Логарифм является монотонной функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные свойства логарифма представлены в таблице.

Область определения	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
Область значений	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
Монотонность	монотонно возрастает	монотонно убывает
Нули, y = 0	x = 1	x = 1
Точки пересечения с осью ординат, x = 0	нет	нет
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

Частные значения

Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается так:

Логарифм по основанию e называется натуральным логарифмом :

Основные формулы логарифмов

Свойства логарифма, вытекающие из определения обратной функции:

Основное свойство логарифмов и его следствия

Формула замены основания

Логарифмирование - это математическая операция взятия логарифма. При логарифмировании, произведения сомножителей преобразуются в суммы членов.
Потенцирование - это математическая операция обратная логарифмированию. При потенцировании заданное основание возводится в степень выражения, над которым выполняется потенцирование. При этом суммы членов преобразуются в произведения сомножителей.

Доказательство основных формул логарифмов

Формулы, связанные с логарифмами вытекают из формул для показательных функций и из определения обратной функции.

Рассмотрим свойство показательной функции
.
Тогда
.
Применим свойство показательной функции
:
.

Докажем формулу замены основания.
;
.
Полагая c = b , имеем:

Обратная функция

Обратной для логарифма по основанию a является показательная функция с показателем степени a .

Если , то

Если , то

Производная логарифма

Производная логарифма от модуля x :
.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >

Для нахождения производной логарифма, его нужно привести к основанию e .
;
.

Интеграл

Интеграл от логарифма вычисляется интегрированием по частям : .
Итак,

Выражения через комплексные числа

Рассмотрим функцию комплексного числа z :
.
Выразим комплексное число z через модуль r и аргумент φ :
.
Тогда, используя свойства логарифма, имеем:
.
Или

Однако, аргумент φ определен не однозначно. Если положить
, где n - целое,
то будет одним и тем же числом при различных n .

Поэтому логарифм, как функция от комплексного переменного, является не однозначной функцией.

Разложение в степенной ряд

При имеет место разложение:

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

См. также:

Область допустимых значений (ОДЗ) логарифма

Теперь поговорим об ограничениях (ОДЗ - область допустимых значений переменных).

Мы помним, что, например, квадратный корень нельзя извлекать из отрицательных чисел; или если у нас дробь, то знаменатель не может быть равен нулю. Подобные ограничения есть и у логарифмов:

То есть и аргумент, и основание должны быть больше нуля, а основание еще и не может равняться.

Почему так?

Начнем с простого: допустим, что. Тогда, например, число не существует, так как в какую бы степень мы не возводили, всегда получается. Более того, не существует ни для какого. Но при этом может равняться чему угодно (по той же причине - в любой степени равно). Поэтому объект не представляет никакого интереса, и его просто выбросили из математики.

Похожая проблема у нас и в случае: в любой положительной степени - это, а в отрицательную его вообще нельзя возводить, так как получится деление на ноль (напомню, что).

При мы столкнемся с проблемой возведения в дробную степень (которая представляется в виде корня: . Например, (то есть), а вот не существует.

Поэтому и отрицательные основания проще выбросить, чем возиться с ними.

Ну а поскольку основание a у нас бывает только положительное, то в какую бы степень мы его ни возводили, всегда получим число строго положительное. Значит, аргумент должен быть положительным. Например, не существует, так как ни в какой степени не будет отрицательным числом (и даже нулем, поэтому тоже не существует).

В задачах с логарифмами первым делом нужно записать ОДЗ. Приведу пример:

Решим уравнение.

Вспомним определение: логарифм - это степень, в которую надо возвести основание, чтобы получить аргумент. И по условию, эта степень равна: .

Получаем обычное квадратное уравнение: . Решим его с помощью теоремы Виета: сумма корней равна, а произведение. Легко подобрать, это числа и.

Но если сразу взять и записать оба этих числа в ответе, можно получить 0 баллов за задачу. Почему? Давайте подумаем, что будет, если подставить эти корни в начальное уравнение?

Это явно неверно, так как основание не может быть отрицательным, то есть корень - «сторонний».

Чтобы избежать таких неприятных подвохов, нужно записать ОДЗ еще до начала решения уравнения:

Тогда, получив корни и, сразу отбросим корень, и напишем правильный ответ.

Пример 1 (попробуй решить самостоятельно):

Найдите корень уравнения. Если корней несколько, в ответе укажите меньший из них.

Решение:

В первую очередь напишем ОДЗ:

Теперь вспоминаем, что такое логарифм: в какую степень нужно возвести основание, чтобы получить аргумент? Во вторую. То есть:

Казалось бы, меньший корень равен. Но это не так: согласно ОДЗ корень - сторонний, то есть это вообще не корень данного уравнения. Таким образом, уравнение имеет только один корень: .

Ответ: .

Основное логарифмическое тождество

Вспомним определение логарифма в общем виде:

Подставим во второе равенство вместо логарифм:

Это равенство называется основным логарифмическим тождеством . Хотя по сути это равенство - просто по-другому записанное определение логарифма :

Это степень, в которую нужно возвести, чтобы получить.

Например:

Реши еще следующие примеры:

Пример 2.

Найдите значение выражения.

Решение:

Вспомним правило из раздела : , то есть, при возведении степени в степень показатели перемножаются. Применим его:

Пример 3.

Докажите, что.

Решение:

Свойства логарифмов

К сожалению, задачи не всегда такие простые - зачастую сперва нужно упростить выражение, привести его к привычному виду, и только потом будет возможно посчитать значение. Это проще всего сделать, зная свойства логарифмов . Так что давай выучим основные свойства логарифмов. Каждое из них я буду доказывать, ведь любое правило проще запомнить, если знать, откуда оно берется.

Все эти свойства нужно обязательно запомнить, без них большинство задач с логарифмами решить не получится.

А теперь обо всех свойствах логарифмов подробнее.

Свойство 1:

Доказательство:

Пусть, тогда.

Имеем: , ч.т.д.

Свойство 2: Сумма логарифмов

Сумма логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму произведения: .

Доказательство:

Пусть, тогда. Пусть, тогда.

Пример: Найдите значение выражения: .

Решение: .

Только что выученная формула помогает упростить сумму логарифмов, а не разность, так что сразу эти логарифмы не объединить. Но можно сделать наоборот - «разбить» первый логарифм на два:А вот обещанное упрощение:
.
Зачем это нужно? Ну например: чему равно?

Теперь очевидно, что.

Теперь упрости сам:

Задачи:

Ответы:

Свойство 3: Разность логарифмов:

Доказательство:

Все точно так же, как и в пункте 2:

Пусть, тогда.

Пусть, тогда. Имеем:

Пример из прошлого пункта теперь становится еще проще:

Пример посложнее: . Догадаешься сам, как решить?

Здесь нужно заметить, что у нас нету ни одной формулы про логарифмы в квадрате. Это что-то сродни выражению - такое сразу не упростить.

Поэтому отвлечемся от формул про логарифмы, и подумаем, какие вообще формулы мы используем в математике чаще всего? Еще начиная с 7 класса!

Это - . Нужно привыкнуть к тому, что они везде! И в показательных, и в тригонометрических, и в иррациональных задачах они встречаются. Поэтому их нужно обязательно помнить.

Если присмотреться к первым двум слагаемым, становится ясно, что это разность квадратов :

Ответ для проверки:

Упрости сам.

Примеры

Ответы.

Свойство 4: Вынесение показателя степени из аргумента логарифма:

Доказательство: И здесь тоже используем определение логарифма:пусть, тогда. Имеем: , ч.т.д.

Можно понять это правило так:

То есть степень аргумента выносится вперед логарифма, как коэффициент.

Пример: Найдите значение выражения.

Решение: .

Реши сам:

Примеры:

Ответы:

Свойство 5: Вынесение показателя степени из основания логарифма:

Доказательство: Пусть, тогда.

Имеем: , ч.т.д.
Запоминаем: из основания степень выносится как обратное число, в отличии от предыдущего случая!

Свойство 6: Вынесение показателя степени из основания и аргумента логарифма:

Или если степени одинаковые: .

Свойство 7: Переход к новому основанию:

Доказательство: Пусть, тогда.

Имеем: , ч.т.д.

Свойство 8: Замена местами основания и аргумента логарифма:

Доказательство: Это частный случай формулы 7: если подставить, получим: , ч.т.д.

Рассмотрим еще несколько примеров.

Пример 4.

Найдите значение выражения.

Используем свойство логарифмов № 2 - сумма логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму произведения:

Пример 5.

Найдите значение выражения.

Решение:

Используем свойство логарифмов № 3 и № 4:

Пример 6.

Найдите значение выражения.

Решение:

Используем свойство № 7 - перейдем к основанию 2:

Пример 7.

Найдите значение выражения.

Решение:

Как тебе статья?

Если ты читаешь эти строки, значит ты прочитал всю статью.

И это круто!

А теперь расскажи нам как тебе статья?

Научился ты решать логарифмы? Если нет, то в чем проблема?

Пиши нам в комментах ниже.

И, да, удачи на экзаменах.

На ЕГЭ и ОГЭ и вообще в жизни

Итак, перед нами степени двойки. Если взять число из нижней строчки, то можно легко найти степень, в которую придется возвести двойку, чтобы получилось это число. Например, чтобы получить 16, надо два возвести в четвертую степень. А чтобы получить 64, надо два возвести в шестую степень. Это видно из таблицы.

А теперь — собственно, определение логарифма:

Логарифм по основанию a от аргумента x — это степень, в которую надо возвести число a , чтобы получить число x .

Обозначение: log a x = b , где a — основание, x — аргумент, b — собственно, чему равен логарифм.

Например, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (логарифм по основанию 2 от числа 8 равен трем, поскольку 2 3 = 8). С тем же успехом log 2 64 = 6, поскольку 2 6 = 64.

Операцию нахождения логарифма числа по заданному основанию называют логарифмированием. Итак, дополним нашу таблицу новой строкой:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

К сожалению, далеко не все логарифмы считаются так легко. Например, попробуйте найти log 2 5. Числа 5 нет в таблице, но логика подсказывает, что логарифм будет лежать где-то на отрезке . Потому что 2 2 < 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Такие числа называются иррациональными: цифры после запятой можно писать до бесконечности, и они никогда не повторяются. Если логарифм получается иррациональным, его лучше так и оставить: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Важно понимать, что логарифм — это выражение с двумя переменными (основание и аргумент). Многие на первых порах путают, где находится основание, а где — аргумент. Чтобы избежать досадных недоразумений, просто взгляните на картинку:

Перед нами — не что иное как определение логарифма. Вспомните: логарифм — это степень , в которую надо возвести основание, чтобы получить аргумент. Именно основание возводится в степень — на картинке оно выделено красным. Получается, что основание всегда находится внизу! Это замечательное правило я рассказываю своим ученикам на первом же занятии — и никакой путаницы не возникает.

С определением разобрались — осталось научиться считать логарифмы, т.е. избавляться от знака «log». Для начала отметим, что из определения следует два важных факта:

1. Аргумент и основание всегда должны быть больше нуля. Это следует из определения степени рациональным показателем, к которому сводится определение логарифма.
2. Основание должно быть отличным от единицы, поскольку единица в любой степени все равно остается единицей. Из-за этого вопрос «в какую степень надо возвести единицу, чтобы получить двойку» лишен смысла. Нет такой степени!

Такие ограничения называются областью допустимых значений (ОДЗ). Получается, что ОДЗ логарифма выглядит так: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Заметьте, что никаких ограничений на число b (значение логарифма) не накладывается. Например, логарифм вполне может быть отрицательным: log 2 0,5 = −1, т.к. 0,5 = 2 −1 .

Впрочем, сейчас мы рассматриваем лишь числовые выражения, где знать ОДЗ логарифма не требуется. Все ограничения уже учтены составителями задач. Но когда пойдут логарифмические уравнения и неравенства, требования ОДЗ станут обязательными. Ведь в основании и аргументе могут стоять весьма неслабые конструкции, которые совсем необязательно соответствуют приведенным выше ограничениям.

Теперь рассмотрим общую схему вычисления логарифмов. Она состоит из трех шагов:

1. Представить основание a и аргумент x в виде степени с минимально возможным основанием, большим единицы. Попутно лучше избавиться от десятичных дробей;
2. Решить относительно переменной b уравнение: x = a b ;
3. Полученное число b будет ответом.

Вот и все! Если логарифм окажется иррациональным, это будет видно уже на первом шаге. Требование, чтобы основание было больше единицы, весьма актуально: это снижает вероятность ошибки и значительно упрощает выкладки. Аналогично с десятичными дробями: если сразу перевести их в обычные, ошибок будет в разы меньше.

Посмотрим, как работает эта схема на конкретных примерах:

Задача. Вычислите логарифм: log 5 25

1. Представим основание и аргумент как степень пятерки: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;
2. Составим и решим уравнение:
   log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
3. Получили ответ: 2.

Задача. Вычислите логарифм:

Задача. Вычислите логарифм: log 4 64

1. Представим основание и аргумент как степень двойки: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
2. Составим и решим уравнение:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
3. Получили ответ: 3.

Задача. Вычислите логарифм: log 16 1

1. Представим основание и аргумент как степень двойки: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
2. Составим и решим уравнение:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
3. Получили ответ: 0.

Задача. Вычислите логарифм: log 7 14

1. Представим основание и аргумент как степень семерки: 7 = 7 1 ; 14 в виде степени семерки не представляется, поскольку 7 1 < 14 < 7 2 ;
2. Из предыдущего пункта следует, что логарифм не считается;
3. Ответ — без изменений: log 7 14.

Небольшое замечание к последнему примеру. Как убедиться, что число не является точной степенью другого числа? Очень просто — достаточно разложить его на простые множители. И если такие множители нельзя собрать в степени с одинаковыми показателями, то и исходное число не является точной степенью.

Задача. Выясните, являются ли точными степенями числа: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 — точная степень, т.к. множитель всего один;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 — не является точной степенью, поскольку есть два множителя: 3 и 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 — точная степень;
35 = 7 · 5 — снова не является точной степенью;
14 = 7 · 2 — опять не точная степень;

Заметим также, что сами простые числа всегда являются точными степенями самих себя.

Десятичный логарифм

Некоторые логарифмы встречаются настолько часто, что имеют специальное название и обозначение.

Десятичный логарифм от аргумента x — это логарифм по основанию 10, т.е. степень, в которую надо возвести число 10, чтобы получить число x . Обозначение: lg x .

Например, lg 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 — и т.д.

Отныне, когда в учебнике встречается фраза типа «Найдите lg 0,01», знайте: это не опечатка. Это десятичный логарифм. Впрочем, если вам непривычно такое обозначение, его всегда можно переписать:
lg x = log 10 x

Все, что верно для обычных логарифмов, верно и для десятичных.

Натуральный логарифм

Существует еще один логарифм, который имеет собственное обозначение. В некотором смысле, он даже более важен, чем десятичный. Речь идет о натуральном логарифме.

Натуральный логарифм от аргумента x — это логарифм по основанию e , т.е. степень, в которую надо возвести число e , чтобы получить число x . Обозначение: ln x .

Многие спросят: что еще за число e ? Это иррациональное число, его точное значение найти и записать невозможно. Приведу лишь первые его цифры:
e = 2,718281828459...

Не будем углубляться, что это за число и зачем нужно. Просто помните, что e — основание натурального логарифма:
ln x = log e x

Таким образом, ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 — и т.д. С другой стороны, ln 2 — иррациональное число. Вообще, натуральный логарифм любого рационального числа иррационален. Кроме, разумеется, единицы: ln 1 = 0.

Для натуральных логарифмов справедливы все правила, которые верны для обычных логарифмов.

Логарифмы, как и любые числа, можно складывать, вычитать и всячески преобразовывать. Но поскольку логарифмы — это не совсем обычные числа, здесь есть свои правила, которые называются основными свойствами .

Эти правила обязательно надо знать — без них не решается ни одна серьезная логарифмическая задача. К тому же, их совсем немного — все можно выучить за один день. Итак, приступим.

Сложение и вычитание логарифмов

Рассмотрим два логарифма с одинаковыми основаниями: log a x и log a y . Тогда их можно складывать и вычитать, причем:

1. log a x + log a y = log a (x · y );
2. log a x − log a y = log a (x : y ).

Итак, сумма логарифмов равна логарифму произведения, а разность — логарифму частного. Обратите внимание: ключевой момент здесь — одинаковые основания . Если основания разные, эти правила не работают!

Эти формулы помогут вычислить логарифмическое выражение даже тогда, когда отдельные его части не считаются (см. урок «Что такое логарифм »). Взгляните на примеры — и убедитесь:

Log 6 4 + log 6 9.

Поскольку основания у логарифмов одинаковые, используем формулу суммы:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 · 9) = log 6 36 = 2.

Задача. Найдите значение выражения: log 2 48 − log 2 3.

Основания одинаковые, используем формулу разности:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Задача. Найдите значение выражения: log 3 135 − log 3 5.

Снова основания одинаковые, поэтому имеем:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Как видите, исходные выражения составлены из «плохих» логарифмов, которые отдельно не считаются. Но после преобразований получаются вполне нормальные числа. На этом факте построены многие контрольные работы. Да что контрольные — подобные выражения на полном серьезе (иногда — практически без изменений) предлагаются на ЕГЭ.

Вынесение показателя степени из логарифма

Теперь немного усложним задачу. Что, если в основании или аргументе логарифма стоит степень? Тогда показатель этой степени можно вынести за знак логарифма по следующим правилам:

Несложно заметить, что последнее правило следует их первых двух. Но лучше его все-таки помнить — в некоторых случаях это значительно сократит объем вычислений.

Разумеется, все эти правила имеют смысл при соблюдении ОДЗ логарифма: a > 0, a ≠ 1, x > 0. И еще: учитесь применять все формулы не только слева направо, но и наоборот, т.е. можно вносить числа, стоящие перед знаком логарифма, в сам логарифм. Именно это чаще всего и требуется.

Задача. Найдите значение выражения: log 7 49 6 .

Избавимся от степени в аргументе по первой формуле:
log 7 49 6 = 6 · log 7 49 = 6 · 2 = 12

Задача. Найдите значение выражения:

[Подпись к рисунку]

Заметим, что в знаменателе стоит логарифм, основание и аргумент которого являются точными степенями: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2 . Имеем:

[Подпись к рисунку]

Думаю, к последнему примеру требуются пояснения. Куда исчезли логарифмы? До самого последнего момента мы работаем только со знаменателем. Представили основание и аргумент стоящего там логарифма в виде степеней и вынесли показатели — получили «трехэтажную» дробь.

Теперь посмотрим на основную дробь. В числителе и знаменателе стоит одно и то же число: log 2 7. Поскольку log 2 7 ≠ 0, можем сократить дробь — в знаменателе останется 2/4. По правилам арифметики, четверку можно перенести в числитель, что и было сделано. В результате получился ответ: 2.

Переход к новому основанию

Говоря о правилах сложения и вычитания логарифмов, я специально подчеркивал, что они работают только при одинаковых основаниях. А что, если основания разные? Что, если они не являются точными степенями одного и того же числа?

На помощь приходят формулы перехода к новому основанию. Сформулируем их в виде теоремы:

Пусть дан логарифм log a x . Тогда для любого числа c такого, что c > 0 и c ≠ 1, верно равенство:

[Подпись к рисунку]

В частности, если положить c = x , получим:

[Подпись к рисунку]

Из второй формулы следует, что можно менять местами основание и аргумент логарифма, но при этом все выражение «переворачивается», т.е. логарифм оказывается в знаменателе.

Эти формулы редко встречается в обычных числовых выражениях. Оценить, насколько они удобны, можно только при решении логарифмических уравнений и неравенств.

Впрочем, существуют задачи, которые вообще не решаются иначе как переходом к новому основанию. Рассмотрим парочку таких:

Задача. Найдите значение выражения: log 5 16 · log 2 25.

Заметим, что в аргументах обоих логарифмов стоят точные степени. Вынесем показатели: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

А теперь «перевернем» второй логарифм:

[Подпись к рисунку]

Поскольку от перестановки множителей произведение не меняется, мы спокойно перемножили четверку и двойку, а затем разобрались с логарифмами.

Задача. Найдите значение выражения: log 9 100 · lg 3.

Основание и аргумент первого логарифма — точные степени. Запишем это и избавимся от показателей:

[Подпись к рисунку]

Теперь избавимся от десятичного логарифма, перейдя к новому основанию:

[Подпись к рисунку]

Основное логарифмическое тождество

Часто в процессе решения требуется представить число как логарифм по заданному основанию. В этом случае нам помогут формулы:

В первом случае число n становится показателем степени, стоящей в аргументе. Число n может быть абсолютно любым, ведь это просто значение логарифма.

Вторая формула — это фактически перефразированное определение. Она так и называется: основное логарифмическое тождество.

В самом деле, что будет, если число b возвести в такую степень, что число b в этой степени дает число a ? Правильно: получится это самое число a . Внимательно прочитайте этот абзац еще раз — многие на нем «зависают».

Подобно формулам перехода к новому основанию, основное логарифмическое тождество иногда бывает единственно возможным решением.

Задача. Найдите значение выражения:

[Подпись к рисунку]

Заметим, что log 25 64 = log 5 8 — просто вынесли квадрат из основания и аргумента логарифма. Учитывая правила умножения степеней с одинаковым основанием, получаем:

[Подпись к рисунку]

Если кто-то не в курсе, это была настоящая задача из ЕГЭ:)

Логарифмическая единица и логарифмический ноль

В заключение приведу два тождества, которые сложно назвать свойствами — скорее, это следствия из определения логарифма. Они постоянно встречаются в задачах и, что удивительно, создают проблемы даже для «продвинутых» учеников.

1. log a a = 1 — это логарифмическая единица. Запомните раз и навсегда: логарифм по любому основанию a от самого этого основания равен единице.
2. log a 1 = 0 — это логарифмический ноль. Основание a может быть каким угодно, но если в аргументе стоит единица — логарифм равен нулю! Потому что a 0 = 1 — это прямое следствие из определения.

Вот и все свойства. Обязательно потренируйтесь применять их на практике! Скачайте шпаргалку в начале урока, распечатайте ее — и решайте задачи.