Две хорды равны. Что такое хорда окружности в геометрии, её определение и свойства. Теорема об угле между хордой и касательной

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цель: повысить мотивацию к обучению; развивать вычислительные навыки, сообразительность, умение работать в команде.

Ход занятия

Актуализация знаний. Сегодня мы продолжим говорить об окружности. Позвольте напомнить определение окружности: что называется окружностью?

Окружность - это линия, состоящая из всех точек плоскости, которые находятся на заданном расстоянии от одной точки плоскости, называемой центром окружности.

На слайде изображена окружность, отмечен ее центр - точка О, проведены два отрезка: ОА и СВ. Отрезок ОА соединяет центр окружности с точкой на окружности. Он называется РАДИУСОМ (по-латыни radius - “спица в колесе”). Отрезок СВ соединяет две точки окружности и проходит через ее центр. Это диаметр окружности (в переводе с греческого – “поперечник”).

Также нам понадобится определение хорды окружности - это отрезок, соединяющий две точки окружности (на рисунке – хорда DE).

Давайте выясним вопрос о взаимном расположении прямой и окружности.

Следующий вопрос и он будет основным: выяснить свойства, которыми обладают пересекающиеся хорды, секущие и касательные.

Доказывать эти свойства вы будете на уроках математики, а наша задача научиться применять эти свойства при решении задач, так как они находят широкое применение на экзаменах и в форме ЕГЭ, и в форме ГИА.

Задание для команд.

Изобразить и записать свойство пересекающихся в точке Р хорд КМ и NF.
Изобразить и записать свойство касательной КМ и секущей КF.
Изобразить и записать свойство секущих КМ и МF.

Используя данные на рисунке, найдите х. Слайд 5–6

Кто быстрее, правильней. С последующим обсуждением и проверкой решения всех задач. Отвечающие зарабатывают для своей команды поощрительные баллы.

Ну, а теперь приступим к решению более серьезных задач. Вашему вниманию предлагается три блока: пересекающиеся хорды, касательная и секущая, две секущие. Подробным образом разберем решение по одной задачи из каждого блока.

(Разбирается решение с подробной записью №4, №7, №12)

2. Практикум по решению задач

а) Пересекающиеся хорды

1. E – точка пересечения хорд AB и CD. AE=4, AB=10, СE:ED=1:6. Найти CD.

Решение:

2. E – точка пересечения хорд AB и CD. AB=17, CD=18, ED=2CE. Найти AE и BE.

Решение:

3. E – точка пересечения хорд AB и CD. AB=10, CD=11, BE=CE+1. Найти CE.

Решение:

4. E – точка пересечения хорд AB и CD. ED=2AE, CE=DE-1, BE=10. Найти CD.

Решение:

б) Касательная и секущая

5. Из одной точки проведены к окружности касательная и секущая. Касательная равна 6, секущая – 18. Определить внутренний отрезок секущей.

Решение:

6. Из одной точки проведены к окружности касательная и секущая. Найти касательную, если известно, что она меньше внутреннего отрезка секущей на 4 и больше внешнего отрезка на 4.

Решение:

7. Из одной точки проведены к окружности касательная и секущая. Найти секущую, если известно, что внутренний её отрезок относится к внешнему, как 3:1, а длина касательной равна 12.

Решение:

8. Из одной точки проведены к окружности касательная и секущая. Найти внешний отрезок, секущей, если известно, что внутренний её отрезок 12, а длина касательной 8.

Решение:

9. Касательная и секущая, исходящие из одной точки, соответственно равны 12 и 24. Определить радиус окружности, если секущая удалена от центра на 12.

Решение:

в) Две секущие

10. Из одной точки проведены к окружности две секущие, внутренние отрезки которых соответственно равны 8 и 16. Внешний отрезок второй секущей на 1 меньше внешнего отрезка первой. Найти длину каждой секущей.

Решение:

11. Из одной точки проведены к окружности две секущие. Внешний отрезок первой секущей относится к своему внутреннему, как 1:3. Внешний отрезок второй секущей на 1 меньше внешнего отрезка первой и относится к своему внутреннему отрезку, как 1:8. Найти длину каждой секущей.

Решение:

12. Через точку А, которая находится вне окружности на расстоянии 7 от её центра, проведен прямая, пересекающая окружность в точках В и С. Найдите длину радиуса окружности, если АВ=3, ВС=5.

Решение:

13. Из точки А проведены к окружности секущая длиной 12 см и касательная, составляющая внутреннего отрезка секущей. Найдите длину касательной.

Решение:

10,5; 17,5
12;18

3. Закрепление знаний

Считаю, что вы обладаете достаточным запасом знаний, чтобы отправится в небольшое путешествие по лабиринтам вашего интеллекта, посетив следующие станции:

Соображай-ка!
Решай-ка!
Отвечай-ка!

На станции можно находиться не более 6 минут. За каждое верное решение задачи команда получает поощрительные баллы.

Командам вручаются маршрутные листы:

Маршрутный лист

Станция	Номера задач	Отметка о решении
Решай-ка!	№1, №3
Соображай-ка!	№5, №8
Отвечай-ка!	№10, №11

Хотелось бы подвести итоги нашего занятия:

Помимо новых знаний надеюсь, вы лучше познакомились друг с другом, приобрели опыт работы в команде. А как вы думаете, полученные знания находят где-то применение в жизни?

Поэт Г. Лонгфелло был еще и математиком. Наверное, поэтому яркие образы, украшающие математические понятия, которые он использовал в своем романе “Каванг”, позволяют запечатлеть на всю жизнь некоторые теоремы и их применение. Читаем в романе следующую задачу:

“Лилия, на одну пядь поднимавшаяся над поверхностью воды, под порывом свежего ветра коснулась поверхности озера в двух локтях от прежнего места; исходя из этого требовалось определить глубину озера” (1 пядь равна 10 дюймам, 2 локтя – 21 дюйму).

А решается эта задача на основе свойства пересекающихся хорд. Посмотрите на рисунок, и станет ясно, как находится глубина озера.

Решение:

Хорда в переводе с греческого означает «струна». Это понятие широко применяется в разных областях науки - в математике, биологии и других.

В геометрии для термина определение будет следующим: это отрезок прямой линии, который соединяет между собой две произвольные точки на одной окружности. Если такой отрезок пересекает центр кривой, она называется диаметром описываемой окружности.

Вконтакте

Как построить геометрическую хорду

Чтобы построить этот отрезок, прежде всего необходимо начертить круг. Обозначают две произвольные точки, через которые проводят секущую линию. Отрезок прямой, который располагается между точками пересечения с окружностью, называется хордой.

Если разделить такую ось пополам и из этой точки провести перпендикулярную прямую, она будет проходить через центр окружности. Можно провести обратное действие - из центра окружности провести радиус, перпендикулярный хорде. В этом случае радиус разделит её на две идентичные половины.

Если рассматривать части кривой, которые ограничиваются двумя параллельными равными отрезками, то эти кривые тоже будут равными между собой .

Свойства

Существует ряд закономерностей , связывающих между собой хорды и центр круга:

Взаимосвязь с радиусом и диаметром

Вышеуказанные математические понятия связаны между собой следующими закономерностями:

Хорда и радиус

Между этими понятиями существуют следующие связи:

Отношения со вписанными углами

Углы, вписанные в окружность, подчиняются следующим правилам:

Взаимодействия с дугой

Если два отрезка стягивают участки кривой, одинаковые по размеру, то такие оси равны между собой. Из этого правила вытекают следующие закономерности:

Хорда, которая стягивает ровно половину окружности, является её диаметром. Если две линии на одной окружности параллельны между собой, то будут равными и дуги, которые заключены между этими отрезками. Однако не следует путать заключённые дуги и стягиваемые теми же линиями.

Вписанная и описанная окружности

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

Теорема 1. Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис.

Теорема 2. Центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника

2.Теоремы (свойства параллелограмма):

· В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны: , , , .

· Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам: , .

· Углы, прилежащие к любой стороне, в сумме равны .

· Диагонали параллелограмма делят его на два равных треугольника.

· Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон: .

Признаки параллелограмма:

· Если противоположные стороны четырехугольника попарно параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм.

· Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник - параллелограмм.

· Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм.

· Если в четырехугольнике диагонали, пересекаясь, точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник - параллелограмм.

· Середины сторон произвольного (в том числе невыпуклого или пространственного) четырехугольника являются вершинами параллелограмма Вариньона .

· Стороны этого параллелограмма параллельны соответствующим диагоналям четырехугольника . Периметр параллелограмма Вариньона равен сумме длин диагоналей исходного четырехугольника, а площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади исходного четырехугольника

3. Трапеция - четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две стороны не параллельны. Параллельные стороны называются основаниями трапеции , две другие - боковыми сторонами .

Высота трапеции - расстояние между прямыми, на которых лежат основания трапеции, любой общий перпендикуляр этих прямых.

Средняя линия трапеции - отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Свойство трапеции:

Если в трапецию вписана окружность, то сумма оснований равна сумме боковых сторон: , а средняя линия - полусумме боковых сторон: .

Равнобедренная трапеция - трапеция, у которой боковые стороны равны . Тогда равны диагонали и углы при основании , .

Из всех трапеций только около равнобедренной трапеции можно описать окружность, так как окружность можно описать около четырехугольника, только если сумма противоположных углов равна .

В равнобедренной трапеции расстояние от вершины одного основания, до проекции противоположной вершины на прямую, содержащую это основание равно средней линии.

Прямоугольная трапеция - трапеция, у которой один из углов при основании равен .

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Доказательство. Пусть E - точка пересечения хорд AB и CD (рис. 110). Докажем, что AE * BE = CE * DE.

Рассмотрим треугольники ADE и CBE. Их углы A и C равны, так как они вписанные и опираются на одну и ту же дугу BD. По аналогичной причине ∠D = ∠B. Поэтому треугольники ADE и CBE подобны (по второму признаку подобия треугольников). Таким образом, DE/BE = AE/CE, или

AE * BE = CE * DE.

Теорема доказана.

5. Прямоугольником могут быть параллелограмм, квадрат или ромб.

1. Противоположные стороны прямоугольника имеют одинаковую длину, то есть они равны:

AB = CD, BC = AD

2. Противоположные стороны прямоугольника параллельны:

3. Прилегающие стороны прямоугольника всегда перпендикулярны:

AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB

4. Все четыре угла прямоугольника прямые:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

5. Сумма углов прямоугольника равна 360 градусов:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

6. Диагонали прямоугольника имеют одинаковой длины:

7. Сумма квадратов диагонали прямоугольника равны сумме квадратов сторон:

2d 2 = 2a 2 + 2b 2

8. Каждая диагональ прямоугольника делит прямоугольник на две одинаковые фигуры, а именно на прямоугольные треугольники.

9. Диагонали прямоугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам:

		AO = BO = CO = DO =

10. Точка пересечения диагоналей называется центром прямоугольника и также является центром описанной окружности

11. Диагональ прямоугольника является диаметром описанной окружности

12. Вокруг прямоугольника всегда можно описать окружность, так как сумма противоположных углов равна 180 градусов:

∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°

13. В прямоугольник, у которого длина не равна ширине, нельзя вписать окружность, так как суммы противоположных сторон не равны между собой (вписать окружность можно только в частный случай прямоугольника - квадрат).

6. Теорема Фалеса

Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой пропорциональные отрезки

Обратная теорема Фалеса

Если прямые, пересекающие две другие прямые (параллельные или нет), отсекают на обеих из них равные (или пропорциональные) между собой отрезки, начиная от вершины, то такие прямые параллельны

Окружность - геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

Данная точка (O) называется центром окружности .
Радиус окружности - это отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности. Все радиусы имеют одну и ту же длину (по определению).
Хорда - отрезок, соединяющий две точки окружности. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром . Центр окружности является серединой любого диаметра.
Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности . Дуга называется полуокружностью , если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.
Длина единичной полуокружности обозначается через π .
Сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами равна 360º .
Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом .
Круговой сектор - часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга. Дуга, которая ограничивает сектор, называется дугой сектора .
Две окружности, имеющие общий центр, называются концентрическими .
Две окружности, пересекающиеся под прямым углом, называются ортогональными .

Взаимное расположение прямой и окружности

Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности (d), то прямая и окружность имеют две общие точки. В этом случае прямая называется секущей по отношению к окружности.
Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют только одну общую точку. Такая прямая называется касательной к окружности , а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности .
Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек

Центральные и вписанные углы

Центральный угол - это угол с вершиной в центре окружности.
Вписанный угол - угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

Теорема о вписанном угле

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Следствие 1.
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Следствие 2.
Вписанный угол, опирающийся на полуокружность - прямой.

Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд.

Основные формулы

Длина окружности:

C = 2∙π∙R

Длина дуги окружности:

R = С/(2∙π) = D/2

Диаметр:

D = C/π = 2∙R

Длина дуги окружности:

l = (π∙R) / 180∙α ,
где α - градусная мера длины дуги окружности)

Площадь круга:

S = π∙R 2

Площадь кругового сектора:

S = ((π∙R 2) / 360)∙α

Уравнение окружности

В прямоугольной системе координат уравнение окружности радиуса r с центром в точке C (x о;y о) имеет вид:

(x - x о) 2 + (y - y о) 2 = r 2

Уравнение окружности радиуса r с центром в начале координат имеет вид:

x 2 + y 2 = r 2

Часть 3. Окружности

I . Справочные материалы.

I . Свойства касательных, хорд и секущих. Вписанные и центральные углы.

Окружность и круг

1.Если из одной точки, лежащей вне окружности, провести к ней две касательные, то

а)длины отрезков от данной точки до точек касания равны;

б)углы между каждой касательной и секущей, проходящей через центр круга, равны.

2. Если из одной точки, лежащей вне окружности, провести к ней касательную и секущую, то квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть

3. Если две хорды пересекаются в одной точке, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой.

4. Длина окружности С=2πR;

5. Длина дуги L =πRn/180˚

6. Площадь круга S=πR 2

7. Площадь сектора S c =πR 2 n/360

Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Теорема 1. Мера угла между касательной и хордой, имеющими общую точку на окружности, равна половине градусной меры дуги, заключенной между его сторонами

Теорема 2 (о касательной и секущей). Если из точки М к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной от точки М до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от точки М до точек её пересечения с окружностью.

Теорема 3 . Если две хорды окружности пересекаются, то произведение длин отрезков одной хорды равно произведению длин отрезков другой хорды, то есть если хорды АВ и СД пересекаются в точке М, то АВ МВ = СМ МД.

Свойства хорд окружности:

Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам. Обратно: диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен ей.

Равные хорды окружности находятся на равном расстоянии от центра окружности. Обратно: на равного расстоянии от центра окружности находятся равные хорды.

Дуги окружности, заключённые между параллельными хордами равны.

окружности, имеющие общую точку и общую касательную в этой точке, называются)касающимися Если окружности расположены по одну сторону от общей касательной, то они называются касающимися внутренне., а если по разные стороны от касательной, то они называются касающимися внешне.

II . Дополнительные материалы

Свойства некоторых углов.

Теорема.

1) Угол (АВС), вершина которого лежит внутри круга, является полусуммой двух дуг (АС И DE), из которых одна заключена между его сторонами, а другая - между продолжениями сторон.

2) угол (АВС), вершина которого лежит вне круга и стороны пересекаются с окружностью, является полуразностью двух дуг (АС и ED), заключенных между его сторонами

Доказательство.

Проведя хорду АD (на том и на другом чертеже), мы получим ∆АВD,

относительно которого рассматриваемый угол АВС служит внешним, когда его вершина лежит внутри круга, и внутренним, когда его вершина лежит вне круга. Поэтому в первом случае: ; во втором случае:

Но углы АDС и DAE, как вписанные, измеряются половинами дуг

АС и DE; поэтому угол АВС измеряется: в первом случае суммой: ½ ﬞ AС+1/2 ﬞ DE, которая равна 1 / 2 (ﮟ AC+ ﮞ DE), а во втором случае разностью 1 / 2 ﬞ AС- 1 / 2 ﬞ DE, которая равна 1 / 2 (ﬞ AC- ﬞ DE).

Теорема . Угол (АCD), составленный касательной и хордой, измеряется половиной дуги, заключенной внутри него.

Предположим сначала, что хорда СD проходит через центр О, Т.е. что хорда есть диаметр. Тогда угол АС D - прямой и, следовательно, равен 90°. Но и половина дуги СmD также равна 90°, так как целая дуга СmD, составляя полуокружность, содержит 180°. Значит теорема оправдывается в этом частном случае..

Теперь возьмем общий случай, когда хорда СD не проходит через центр. Проведя тогда диаметр СЕ, мы будем иметь:

Угол ACE, как составленный касательной и диаметром, измеряется, по доказанному, половиной дуги CDE; Угол DCE, как вписанный, измеряется половиной дуги CnED: разница в доказательстве только та, что этот угол надо рассматривать не как разность, а как сумму прямого угла ВСЕ и острого угла ECD.

Пропорциональные линии в круге

Теорема. Если через точку (М), взятую внутри круга, проведена какая-нибудь хорда (АВ) и диаметр (CD), то произведение отрезков хорды (АМ МВ) равно произведению отрезков диаметра (МВ МС).

Доказательство.

П
роведя две вспомогательные хорды АС и ВD, мы получим два треугольника АМС и MBD (покрытые на рисунке штрихами), которые подобны, так как у них углы А и D равны, как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу ВС, углы С и В равны, как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу AD. Из подобия треугольников выводим:

АМ: МD=МС: МВ, откуда АМ МВ=МD МС.

Следствие. Если через точку (М), взятую внутри круга, проведено сколько угодно хорд (АВ, EF, KL,...), то произведение отрезков каждой хорды есть число постоянное для всех хорд, так как для каждой корды это произведение равно произведению отрезков диаметра CD, проходящего через взятую точку М.

Теорема. Если из точки (М), взятой вне круга, проведены к нему какая-нибудь секущая (МА) и касательная (МС), то произведение секущей на ее внешнюю часть равно квадрату касательной (предполагается, что секущая ограничена второй точкой пересечения, а касательная - точкой касания).

Доказательство.

Проведем вспомогательные хорды АС и ВС; тогда получим два треугольника МАС и МВС (покрытые на рисунке штрихами), которые подобны, потому что у них угол М общий и углы МСВ и САВ равны, так как каждый из них измеряется половиной дуги ВС. Возьмем в ∆МАС стороны МА и МС; сходственными сторонами в ∆МВС будут МС и МВ; поэтому МА: МС=МС: МВ, откуда МА МВ=МС 2 .

Следствие. Если из точки (М), взятой вне круга, проведено к нему сколько угодно секущих (МА, MD, МЕ,...), то произведение каждой секущей на ее внешнюю часть есть число постоянное для всех секущих, так как для каждой секущей это произведение равно квадрату касательной (МС 2), проведенной из точки М.

III . Вводные задачи.

Задача 1.

В равнобедренной трапеции с острым углом в 60° боковая сторона равна , а меньшее основание - . Найдите радиус окружности, описанной около этой трапеции.

Решение

1) Радиус окружности, описанной около трапеции, – одно и то же, что и радиус окружности, описанной около треугольника, вершинами которого являются любые три вершины трапеции. Найдем радиус R окружности, описанной около треугольника ABD .

2) ABCD – равнобедренная трапеция, поэтому AK = MD , KM =.

В ∆ABK AK = AB cos A = · cos 60° = . Значит,
AD = .

BK = AB sin A = · = .

3) По теореме косинусов в ∆ABD BD 2 = AB 2 + AD 2 – 2AB · AD cos A .

BD 2 = () 2 + (3) 2 – 2 · · 3 · = 21 + 9 · 21 – 3 · 21 = 7 · 21;
BD = .

4) S(∆ABD ) = AD · BK ; S(∆ABD ) = · · 3 = .

Задача 2.

В равносторонний треугольник ABC вписана окружность и проведен отрезок NM ,

M AC , N BC , который касается ее и параллелен стороне AB .

Определите периметр трапеции AMNB , если длина отрезка MN равна 6.

Решение.

1) ∆ABC – равносторонний, точка O – точка пересечения медиан (биссектрис, высот), значит, CO : OD = 2 : 1.

2) MN – касательная к окружности, P – точка касания, значит, OD =
= OP , тогда CD = 3 · CP .

3) ∆CMN ∾ ∆CAB , значит, ∆CMN – равносторонний CM = CN = MN = = 6; P .

А так же

3) BN = CB – CN = 18 – 6 = 12.

4) P (AMNB ) = AM + MN + BN + AB = 18 + 6 + 12 + 12 = 48.

Около окружности описана равнобокая трапеция, средняя линия которой равна 5, а синус острого угла при основании равен 0,8. Найдите площадь трапеции.

Решение. Так как окружность вписана в четырехугольник, то BC + AD = AB + CD . Этот четырехугольник – равнобокая трапеция, значит BC + AD = 2AB .

FP – средняя линия трапеции, значит, BC + AD = 2FP .

Тогда AB = CD = FP = 5.

∆ABK – прямоугольный, BK = AB sin A ; BK = 5 · 0,8 = 4.

S (ABCD ) = FP · BK = 5 · 4 = 20.

Ответ : 20.

Вписанная окружность треугольника АВС касается стороны ВС в точке К, а вневписанная – в точке L. Докажите, что CK=BL=(a+b+c)/2

Доказательство: пусть М и N –точки касания вписанной окружности со сторонами АВ и ВС. Тогда BK+AN=BM+AM=AB, поэтому СК+CN= a+b-c.

Пусть Р и Q – точки касания вневписанной окружности с продолжениями сторон АВ и ВС. Тогда АР=АВ+ВР=АВ+ВL и AQ=AC+CQ=AC+CL. Поэтому AP+AQ=a+b+c. Следовательно, BL=BP=AP-AB=(a+b-c)/2.

а) Продолжение биссектрисы угла В треугольника АВС пересекает описанную окружность в точке М. О - центр вписанной окружности. О В –центр вневписанной окружности, касающейся стороны АС. Докажите, что точки А, С, О и O В лежат на окружности с центром М.

Д
оказательство: Так как

б) Точка О, лежащая внутри треугольника АВС, обладает тем свойством, что прямые АО, ВО, СО проходят через центры описанных окружностей треугольников ВСО, АСО, АВО. Докажите, что О – центр вписанной окружности треугольника АВС

Доказательство: Пусть Р- центр описанной окружности треугольника АСО. Тогда

IV . Дополнительные задачи

№1. Окружность, касающаяся гипотенузы прямоугольного треугольника и продолжений его катетов, имеет радиус R. Найдите периметр треугольника

Решение: HOGB- квадрат со стороной R

1) ∆OAH =∆OAF по катету и гипотенузе =>HA=FA

2) ∆OCF=∆OCG =>CF=CG

3) P ABC =AB+AF+FC+BC=AB+AM+GC+BC+BH+BG=2R

№2. Точки C и D лежат на окружности с диаметром АВ. АС ∩ BD = Р, а AD ∩ BC = Q. Докажите, что прямые AB и PQ перпендикулярны

Доказательство: AD – диаметр => вписанный угол ADB=90 o (как опирающийся на диаметр)=> QD/QP=QN/QA; ∆QDP подобен ∆QNA по 2м сторонам и углу между ними=> QN перпендикулярна AB .

№3. В параллелограмме ABCD диагональ AC больше диагонали BD; М – точка диагонали AC, BDCM – вписанный четырехугольник.. Докажите, что прямая BD является общей касательной к описанным окружностям треугольников ABM и ADM

П
усть О – точка пересечения диагоналей АС и ВD. Тогда MO· OC=BO· ОD. Тогда как ОС=ОА и ВО=ВD, то МО· ОА=ВО 2 и МО· ОА=DO 2 . Эти равенства означают, что ОВ касается описанной окружности треугольника ADM

№4. На основании АВ равнобедренного треугольника АВС взята точка Е, и в треугольники АСЕ и АВЕ вписаны окружности, касающиеся отрезка СЕ в точках М и N . Найдите длину отрезка MN, если известны длины АЕ и ВЕ.

Согласно вводной задаче 4 СМ=(АС+СЕ-АЕ)/2 и СN=(BC+CE-BE)/2. Учитывая, что АС=ВС, получаем МN=|CM-CN|=|AE-BE|/2

№5. Длины сторон треугольника АВС образуют арифметическую прогрессию, причем a

Пусть М середина стороны АС, N- точка касания вписанной окружности со стороной ВС. Тогда BN=р–b (вводная задача 4), поэтому BN=AM, т.к. p=3b/2 по условию. Кроме того,

V .Задачи для самостоятельного решения

№1. Четырехугольник ABCD обладает тем свойством, что существует окружность, вписанная в угол BAD и касающаяся продолжений сторон ВС и CD. Докажите, что AB+BC=AD+DC.

№2. Общая внутренняя касательная к окружностям с радиусами R и r пересекает их общие внешние касательные в точках А и В и касается одной из окружностей в точке С. Докажите, что АС∙CB=Rr

№3. В треугольнике АВC угол С прямой. Докажите, что r =(a+b-c)/2 и r c =(a+b+c)/2

№4. Две окружности пересекаются в точках А и В; MN – общая касательная к ним. Докажите, что прямая АВ делит отрезок MN пополам.

№5. Продолжения биссектрис углов треугольника АВС пересекают описанную окружность в точках А 1 , В 1 , С 1 . М – точка пересечения биссектрис. Докажите, что:

а) MA·MC/MB 1 =2r;

b) MA 1 ·MC 1 /MB=R

№6. Угол, составленный двумя касательными, проведенными из одной точки окружности, равен 23 о 15`. Вычислить дуги, заключенные между точками касания

№7. Вычислить угол, составленный касательной и хордой, если хорда делит окружность на две части, относящиеся как 3:7.

VI. Контрольные задачи.

Вариант 1.

Точка М находится вне круга с центром О. Из точки М проведены три секущие: первая пересекает окружность в точках В и А (М-В-А), вторая – в точках D и C (М-D-C), а третья пересекает окружность в точках F и E (M-F-E) и проходит через центр окружности, АВ = 4, ВМ =5, FM = 3.

Докажите, что если АВ = СD, то углы АМЕ и СМЕ равны.

Найдите радиус окружности.

Найдите длину касательной, проведенной из точки М к окружности.

Найдите угол АЕВ.

Вариант 2.

АВ – диаметр окружности с центром О. Хорда ЕF пересекает диаметр в точке К (А-К-О), ЕК =4, КF = 6, ОК = 5.

Найдите радиус окружности.

Найдите расстояние от центра окружности до хорды ВF.

Найдите острый угол между диаметром АВ и хордой EF.

Чему равна хорда FМ, если ЕМ – параллельная АВ.

Вариант 3. В прямоугольный треугольник АВС (

Вариант 4.

АВ – диаметр окружности с центром О. Радиус этой окружности равен 4, О 1 – середина ОА. С центром в точке О 1 проведена окружность, касающаяся большей окружности в точке А. Хорда СD большей окружности перпендикулярна к АВ и пересекает АВ в точке К. Е и F –точки пересечения СD с меньшей окружностью (С-Е-К-F-D), АК=3.

Найдите хорды АЕ и АС.

Найдите градусную меру дуги АF и её длину.

Найдите площадь части меньшего круга, отсеченной хордой ЕF.

Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АСЕ.